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三角形面积公式计算公式(最简单的三角形面积公式)

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怎样想到用三角形面积公式?

初看这个问题,感觉很无聊,求三角形面积,不用公式用什么?但随着教学推进过程中越来越多地出现了应该使用面积公式,学生即始终想不到用它,于是返回来重新审视这一应用最为广泛的面积公式,三角形的面积等于底与高乘积的一半,应该不简单。

最初级的应用就是给出三角形的底和高,计算三角形的面积,使用到的运算为乘法,现在在运算上提升,已知面积求底,或求高,立刻转变为除法,再变下去,只是简单增加运算量,并不值得。

换个方式考察,融入观察图形,这次应用起来十分精彩,以下面两道试题为例。

第一题

如图,△ABC的面积为4cm²,AP与∠ABC的平分线垂直,垂足为P,则△PBC的面积为__________cm².

解析:

条件元素有△ABC的面积,BP平分∠ABC,AP⊥BP,所求结论是△PBC的面积;

由△ABC的面积出发,求△PBC的面积,并且题目其它条件并无一个关于线段长度,意味着用最初级的面积公式法不可行,因此我们必须寻找这两个三角形面积之间的数量关系,并且由于△PBC在△ABC内部且共边,猜测它们是倍数关系,下面来证实。

BP是角平分线,同时也是AP的垂线,这两种性质的线重合,极易联想到等腰三角形中的“三线合一”,那么,等腰三角形在哪里呢?不妨延长AP交BC于点D,如下图:

我们很容易证明△ABP和△DBP中,∠BAD=∠BDA,于是BA=BD,得到等腰△ABD,然后根据三线合一,得到点P为AD中点;

至此本题的钥匙拿到了,BP是△ABD的中线,CP是△ACD的中线,它们都可以将三角形分成面积相等的两部分,于是S1=S2,S3=S4,而这四部分之和为4cm²,所以“各取一半”得到S2+S4=2,所以△PBC的面积为2cm²;

从本题思维导图可以看出来,关键点其实在于三角形中线等分面积,而这个结论又是基于三角形面积公式的“等底等高”结论,因此学生需要由条件中的“角平分线”、“垂线”因素联想到“中线”,而这三者全部集中于一条线段上,目前学段只有三线合一能做到,所以辅助线作法是延长AP构造等腰三角形,实际教学中,八年级学生很难想到这一层,多数奔着构造全等三角形去了,甚至还有自以为是的学生用所谓的模型去尝试,嘴里说着中线倍长延长BP的,有误认为△ABC是等腰直角三角形去构造手拉手模型的等,虽然是一道填空题,却也着实让某些学生原形毕露了。

第二题

如图,△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,分别作点A,B,C关于各自对边的对称点A',B',C',若△A'B'C'的面积为48cm²,则BC的长为__________cm

解析:

作图非常关键,理解“关于各自对边的对称点”,即点A与点A'关于BC对称,点B与点B'关于AC对称,点C与点C'关于AB对称,如下图:

图中最容易发现的是一对全等三角形,△ABC≌△A'B'C,根据全等三角形的性质,它们的对应线段相等,那么问题在于,它们的对应线段除了对应边之外,还包括对应中线、对应角平分线、对应高,哪一对才是我们需要的呢?

由于条件给出了△A'B'C'的面积,观察这个三角形,线段CC'⊥AB,而AB∥A'B'是很容易证明出来的,所以CC'⊥A'B',若将它延长,不正好是△A'B'C'的高吗?如下图:

现在重点观察线段C'E,它由三部分构成,分别是CE、CD和C'D,由轴对称性质,CD=C'D,由全等三角形性质,CD=CE,因此这三条线段彼此都相等,于是C'E=3CE,所以我们可以求出△A'B'C的面积,是△A'B'C'的三分之一,等于16cm²,故△ABC的面积也是16cm²,再由三角形面积公式,得到1/2BC·AC=16cm²,我们将其中的AC换成2BC,得到BC²=16,解得BC=4cm.

从本题思维导图可以看出,AC=2BC其实是个伏笔,触发方程的关键结论是△ABC的面积,仍然与上一题类似,从面积得到面积,并且△A'B'C'与△A'B'C同底,且高存在3倍的数量关系,而这个数量关系要想能观察出来,又必须延长DC得到整个△A'B'C'的高,平行线的关系也要能从轴对称中推导出来,因此本题难度实际上在于找到各条件元素间的关联,找不到,便会跟老师说看不懂题目。

解题反思

这两道与三角形面积有关的填空题,学生刚刚上手的时候,多数有点懵,不知从哪突破,也就是说,轴对称的本质含义并未深入理解,更没想到三角形面积公式在这两道题中的使用。

我们返回到课堂教学中,三角形面积计算公式,学生真的理解了吗?

求三角形的面积,小学生也知道是底乘以高再除以2,如果我们在教学中始终给出底和高来求面积,属于机械重复,达不到深入理解这个公式的目的,在初中阶段,对它的运用更为灵活,底和高未必会直接从图中反映出来,缺底或缺高的情况比比皆是,这种结构不良类的习题,更考验学生的整体建构能力,如何才能让学生想到,是我们在教学过程中孜孜以求的大成之境。

以三角形面积计算公式为例,首先要站在整个初中学段角度去看待它,在学习三角形、四边形、平移、轴对称、旋转等章节的过程中,从不同角度去考查学生对公式的理解;其次是在每一次解题过程中,如果因为没有想到使用它,一定在要反思中点明,尤其是在对学生分析解题思路的时候,说清为什么要这么想,引导学生多问“为什么”,最后在学生解题过程中,有意识地弥补他们的知识体系里的漏洞,通过提示也行,反思也罢,这个环节不可少。

当然,这一切的前提,是作为教师要多研题,去挖掘试题背后的知识框架,思考怎样让学生也建立起对应的框架。

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